Drei Würfel erzeugen eine Gauß-Verteilung

©Norbert Meier 2024

Veranlassung

Mein 10-jähriger Enkel Henri ist sehr interessiert an mathematischen Aufgabenstellungen.
Sein Vater hat ihm kürzlich erzählt, dass man mit drei Würfeln eine Gauß-Verteilung
(nach Carl Friedrich Gauß, 1777-1855) erzeugen kann.

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Henri hat sogleich mit einem Würfelbecher und drei Würfeln 50 mal die Augensumme der drei Würfel
ermittelt und aufgeschrieben. Wenn man nun die Häufigkeit der gewürfelten Augensummen in ein
Diagramm einträgt, erhält man eine Häufigkeits-Verteilung, die z.B. bei 50 Würfen so aussehen könnten.

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Die Häufigkeits-Verteilung der 50 gewürfelten Zahlen ist noch weit entfernt von der idealen Gauß-Verteilung,
wie auf der rechten Seite im obigen Bild zu sehen ist.

Die gewürfelte Zahl muß drastisch erhöht werden, um eine Annäherung an die Gauß-Verteilung zu
erhalten. Ein Würfelprogramm kann mit Tubo Pascal programmiert werden und kann auf 500, 5000, oder
50000 Würfe eingestellt werden.

Würfelprogramm mit Turbo Pascal erstellen

Das Internet bietet per Download die Möglichkeitann, das kostenlose Turbo Pascal Programmier-System auf
den eigenen Recher zu laden. Mit einem Pascal-Editor wird das Programm erstellt, dann compiliert und
mit RUN gestartet.
Wir wollen gleich mal das Würfelprogramm als Textversion zeigen und kurz erläutern.
Kommentare können im Pascal-Programm mit der Zeichenfolge (* ... *) eingefügt werden.

Uses Crt;
Var
  w                      : Integer;  (* Anzahl Wpürfe             *)
  maxw                   : Integer;  (* maximale Anzahl Würfe     *)
  w1, w2, w3             : Integer;  (* gewürfelte Zahl           *)
  sum                    : Integer;  (* Würfelsumme               *)
HF       : Array[1..18] of Integer;  (* Tabelle der Häufigkeiten  *)
Begin
Randomize;                      (* Zufallsgenerator aktivieren *)
Clrscr;                         (* Bildschirm löschen  *)
maxw := 2000;
writeln;
For w := 1 To 18 Do Begin       (* Tabelle der Häufigkeiten auf Null setzen *)
HF[w] := 0;
End;
For w := 1 To maxw Do Begin     (* Schleife bis maximale Anzahl der Würfe   *)
sum:= 0;
w1 := 1 + random(6);            (* Zufallszahl im Bereich 1 bis 6 erzeugen  *)
w2 := 1 + random(6);
w3 := 1 + random(6);
sum := w1 + w2+ w3;             (* gewürfelte Summe bilden *)
HF[sum] := HF[sum] + 1;         (* Häufigkeit um 1 erhöhen *)
(*Ausgabe der 3 gewürfelten Zahlen, der Summe und die erreichte Häufigkeit *)
('  ',w1, '  ',w2,'  ',w3, '   =  ', sum , '    ',HF[sum]);
End;
writeln;
writeln(' Verteilung der Haeufigkeiten bei ',maxw, ' Wuerfen');
writeln(' Summe','   ',   'Haeufigkeit');
For w := 3 To 18 Do Begin
writeln( '  ', w , '       ', HF[w] );
End;
writeln;
readln;
End.

Häufigkeits-Verteiung bei 500, 5000 und 50000 Würfen mit drei Würfeln

Im Programm werden jeweils die Maximalwerte, siehe maxw, eingestellt.

Die vom Programm ermittelten Häufigkeitswerte werden in einer Exel-Tabelle eingegeben,
aus der dann die Balkengrafik erzeugt werden kann.

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Ergebnis: Je höher die Anzahl der Würfe, um so besser ist die Gauss-Verteilung.

Häufigkeits-Verteiung bei 1 Million Würfen mit drei Würfeln

Im Programm sind Änderungen erforderlich:
1. Die ganzzahligen Daten müssen auf LONGINT umgestellt werden.
2. Nur das Ergebnis wird am Ende auf dem Bildschirm ausgegeben.

Bild 1

Die Häufigkeits-Verteilung nach 1 Million Würfen zeigt das nächste Bild:

Bild 1

Ergebnis: Die Verteilung ist nun mit einer Gauß-Verteilung identisch.

Benötigte Zeitdauer für 1 Million Würfen mit drei Würfeln

Würfelt man mit dem Becher einmal und schreibt die Summe auf, dauert das 7 Sekunden.
Würde man ohne Pause Tag und Nacht würfeln, so müsste man bei 1 Million Würfen
81 Tage einplanen.
Auf meinem Tablet-PC von Hewlett-Packard benötigt das Pascal-Programm nur 54 Sekunden.

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